Question

【題目】問題發現

在等腰三角形ABC中，，分別以AB和AC為斜邊，向的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中于點F，于點G，M是BC的中點，連接MD和ME．

填空：線段AF，AG，AB之間的數量關系是______；

線段MD，ME之間的數量關系是______．

拓展探究

在任意三角形ABC中，分別以AB和AC為斜邊向的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數量關系和位置關系？并說明理由；

解決問題

在任意三角形ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，若，請直接寫出線段DE的長．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）由條件可以通過三角形全等和軸對稱的性質，直角三角形的性質得出結論；

（2）取AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據三角形的中位線的性質和等腰直角三角形的性質就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得出△DFM≌△MGE，根據其性質就可以得出結論；

（3）取AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根據三角形的中位線的性質K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性質和勾股定理就可以得出答案．

，理由如下：

和是等腰直角三角形，

，

在和中，

，

≌，

，，

于點F，于點G，

，．

，

；

，理由如下：

是BC的中點，

．

，

，

，

即．

在和中，

，

≌，

；

故答案為：；；

，．

理由如下：

取AB，AC的中點F，G，連接DF，FM，MG，EG，設AB與DM交于點H，如圖2，

和都是等腰直角三角形，

，，．

點M是BC的中點，

和MG都是的中位線，

，，

四邊形AFMG是平行四邊形，

，，

．

在和中，

，，，

≌，

，．

，，

，即；

線段DE的長為，理由如下：

分別取AB，AC的中點F，G，連接MF，DF，MG，EG，設DF和MG交于點H，如圖3，

和都是等腰直角三角形，

，，．

點M是BC的中點，

和MG都是的中位線，

，，

四邊形AFMG是平行四邊形，

，，

．

在和中，

，，，

≌．

，．

即．

又，

，

是等腰直角三角形，

在中，，由勾股定理，得．