Question

已知：如圖，點P是正方形ABCD內的一點，連結PA，PB，PC．

（1）如圖甲，將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△的位置．
①設AB的長為a，PB的長為b(b<a)，求△PAB旋轉到△的過程中邊PA所掃過區域 （圖甲中陰影部分）的面積；
②若PA＝3，PB＝6，∠APB＝135°，求PC的長．
（2）如圖乙，若PA²＋PC²＝2PB²，請說明點P必在對角線AC上．

Answer 1

（1）①②6；（2）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理證出∠＝90°，再證∠BPC＋∠APB＝180°，即點P在對角線AC上．

試題分析：（1）①△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域（圖1中陰影部分）的面積實際是大扇形OAC與小扇形BPP′的面積差，且這兩個扇形的圓心角同為90度；
②連接PP′，證△PBP′為等腰直角三角形，從而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；
（2）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理證出∠＝90°，再證∠BPC＋∠APB＝180°，即點P在對角線AC上．

②連接PP′

根據旋轉的性質可知：
BP=BP′，∠PBP′=90°；
即：△PBP′為等腰直角三角形，
∴∠BPP′=45°，
∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°，
∴∠BPA+∠BPP′=180°，
即A、P、P′共線，
∴∠PP′C=135°-45°=90°；
在Rt△PP′C中，PP′=4，P′C=PA=2，根據勾股定理可得PC=6．
（2）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，連接PP′．

同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′²=2PB²；
∵PA²+PC²=2PB²=PP′²，
∴PC²+P′C²=PP′²，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四邊形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∵∠BPA=∠BP′C，
∴∠BPC+∠APB=180°，即點P在對角線AC上．
點評：本題知識點多，綜合性強，是中考常見題，需要學生熟練掌握平面圖形的基本概念，難度較大.