Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，BD是⊙O的直徑， AD與BC交于點E，
F在DA的延長線上，且AF＝AE．

（1）試判斷BF與⊙O的位置關系，并說明理由；
(2）若BF＝5，，求⊙O的直徑．

Answer 1

（1）BF與⊙O相切  （2）⊙O的直徑是

試題分析：解：（1）BF與⊙O相切
∵ BD是直徑     
∴∠DAB=90°
∵AE=AF，∠BAD=∠BAF，BA=BA                 
∴△BAE≌△BAF
∴∠CBA=∠FBA
∵AB=AC
∴∠C=∠CBA
又∵∠D=∠C
∴∠D=∠CBA
∴∠D=∠FBA
∵∠FBA+∠F=180°－∠BAF=90°
∴∠D+∠F=90°
∴∠DBF=180°－(∠D+∠F)=90°
∴OB⊥BF
∴BF與⊙O相切
（2）∵∠D =∠C
∴c o s∠D =" c" o s∠C =
在R t△BDF中，c o s∠D=
設BD =4x， DF =5x，則BF =3x
∵BF =5， ∴3x=5， ∴x= 
∴BD ="4x" =
∴⊙O的直徑是
點評：該題考查學生對圓相關知識點的掌握程度，線與圓的關系、同弦所對的圓心角與圓周角的關系都是常考的知識點。