Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C（0，3），tan∠OAC=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點H是線段AC上任意一點，過H作直線HN⊥x軸于點N，交拋物線于點P，求線段PH的最大值；

（3）點M是拋物線上任意一點，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點M使點E恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）M（﹣4，0）或（，）或（，）或（2，0）．

【解析】

試題分析：（1）由點C的坐標以及tan∠OAC=可得出點A的坐標，結合點A、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，由點A、C的解析式利用待定系數法即可求出直線AC的解析式，設N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐標，由此即可得出PH關于x的解析式，利用配方法即二次函數的性質即可解決最值問題；

（3）過點M作MK⊥y軸于點K，交對稱軸于點G，根據角的計算依據正方形的性質即可得出△MCK≌△MEG（AAS），進而得出MG=CK．設出點M的坐標利用正方形的性質即可得出點G、K的坐標，由正方形的性質即可得出關于x的含絕對值符號的一元二次方程，解方程即可求出x值，將其代入拋物線解析式中即可求出點M的坐標．

試題解析：（1）∵C（0，3），∴OC=3，∵tan∠OAC=，∴OA=4，∴A（﹣4，0）．

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為．

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直線AC的解析式為．

設N（x，0）（﹣4＜x＜0），則H（x，），P（x，），∴PH== =，∵＜0，∴PH有最大值，當x=2時，PH取最大值，最大值為．

（3）過點M作MK⊥y軸于點K，交對稱軸于點G，則∠MGE=∠MKC=90°，∴∠MEG+∠EMG=90°，∵四邊形CMEF是正方形，∴EM=MC，∠MEC=90°，∴∠EMG+∠CMK=90°，∴∠MEG=∠CMK．

在△MCK和△MEG中，∵∠MEG=∠CMK，∠MGE=∠CKM，EM=MC，∴△MCK≌△MEG（AAS），∴MG=CK．

由拋物線的對稱軸為x=﹣1，設M（x，），則G（﹣1，），K（0，），∴MG=|x+1|，CK=||=| |=||，∴|x+1|=||，∴=±（x+1），解得：x1=﹣4，x2=，x3=，x4=2，代入拋物線解析式得：y1=0，y2=，y3=，y4=0，∴點M的坐標是（﹣4，0），（，），（，）或（2，0）．