Question

【題目】先尺規作圖，后進行計算：如圖，△ABC中，∠A＝105°．

（1）試求作一點P，使得點P到B、C兩點的距離相等，并且到∠ABC兩邊的距離相等（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．

（2）在（1）的條件下，若∠ACP＝30°，則∠PBC的度數為　 　°．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）15.

【解析】

（1）作BC的垂直平分線和∠ABC的平分線，它們的交點為P點；

（2）設∠PBC＝x，利用角平分線的定義得到∠ABC＝2∠PBC＝2x，利用線段垂直平分線的性質得到PB＝PC，則∠PCB＝∠PBC＝x，然后根據三角形內角和定理可計算出x的值．

解：（1）如圖，點P為所作；

（2）設∠PBC＝x，

∵PB平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠PBC＝2x，

∵PB＝PC，

∴∠PCB＝∠PBC＝x，

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，

∴2x+x+30°+105°＝180°，解得x＝15°．

即∠PBC的度數為15°．

故答案為15．