Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OB，垂足為M，DE=4，連接AD，過E作AD平行線交AB延長線于點C．

（1）求⊙O的半徑；

（2）求證：CE是⊙O的切線；

（3）若弦DF與直徑AB交于點N，當∠DNB=30°時，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)證明見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）連接OE，利用垂徑定理，特殊三角形OEM求半徑.(2) 由（1）知：∠BOE=60°, 所以易得∠CEO是90°.（3）利用S扇形EOF-S△EOF求面積

試題解析：

解答（1）解：連接OE．
∵DE垂直平分半徑OB，
∴OM=OB
∵OB=OE，
∴OM=OE，ME=DE=2，
∴∠OEM=30°，
∴OE= =；

（2）證明：由（1）知：∠BOE=60°，弧BE，
∴∠A=∠BOE=30°，
∴∠ADE=60°
∵AD∥CE，
∴∠CED=∠ADE=60°，
∴∠CEO=∠CED+∠OEM=60°+30°=90°，
∴OE⊥EC，
∴EC是⊙O的切線；

（3）解：連接OF．
∵∠DNB=30°，
∵∠DMA=90°，
∴∠MDN=60°，
∴∠EOF=2∠EDF=120°，
∴S陰影=S扇形EOF-S△EOF=-=．