Question

【題目】閱讀理解：運用“同一圖形的面積相等”可以證明一些含有線段的等式成立，這種解決問題的方法我們稱之為面積法. 如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC， AC邊上的高為h，點M為底邊BC上的任意一點，點M到腰AB、AC的距離分別為h1、h2，連接AM，利用S△ABC=S△ABM＋S△ACM，可以得出結論：h= h1＋h2.

類比探究：在圖1中，當點M在BC的延長線上時，猜想h、h1、h2之間的數量關系并證明你的結論.

拓展應用：如圖2，在平面直角坐標系中，有兩條直線l1：y =x+3，l2：y =－3x+3，若l2上一點M到l1的距離是1，試運用 “閱讀理解”和“類比探究”中獲得的結論，求出點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）h = h1－h2（2）（，2）或（－，4）

【解析】試題分析：（1）連接AM，△ABC被分成△ABM和△ACM兩個三角形，根據三角形的面積公式分別求解，再根據S△ABC=S△ABM+S△AMC整理即可得到h1+h2=h．
（2）先根據直線關系式求出A、B、C三點的坐標利用勾股定理求出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，再分點M在線段BC上和CB的延長線上兩種情況討論求解．

試題解析：

（1）h = h1－h2.

證明：連接OA，

∵S△ABC =AC·BD=AC·h，

S△ABM =AB·ME = AB·h1，

S△ACM=AC·MF =AC·h2，.

又∵S△ABC=S△ABM－S△ACM，

∴AC·h =AB·h1－AC·h2.

∵AB=AC，∴h = h1－h2.

（2）在y =x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=－4，則：

A（－4，0），B（0，3） ， 同理求得C（1，0），

OA=4，OB=3， AC=5，

AB==5，所以AB=AC，

即△ABC為等腰三角形．

設點M的坐標為（x，y），

①當點M在BC邊上時，由h1+h2=h得：

OB = 1+y，y =3－1=2，把它代入y=－3x+3中求得：x=，

∴M（，2）

②當點M在CB延長線上時，由h1－h2=span>h得：

OB = y－1，y =3+1=4，把它代入y=－3x+3中求得：x=－，

∴M（－，4）.

綜上所述點M的坐標為（，2）或（－，4）.