Question

【題目】已知二次函數y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m為常數）．

（1）求證：不論m為何值，該二次函數的圖像與x軸總有兩個公共點；

（2）將該二次函數的圖像向下平移k（k＞0）個單位長度，使得平移后的圖像經過點（0，－2），則k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）k≥.

【解析】

（1）根據判別式的值得到△=（2m－1）2 ＋3＞0，然后根據判別式的意義得到結論；
（2）把（0，－2）帶入平移后的解析式，利用配方法得到k= (m+)+，即可得出結果.

（1）證：當y=0時 x2－2mx＋m2＋m－1＝0

∵b2－4ac＝（－2m）2－4（m2＋m－1）

＝8m2－4m2－4m＋4

＝4m2－4m＋4

＝（2m－1）2 ＋3＞0

∴方程x2－2mx＋m2＋m－1＝0有兩個不相等的實數根

∴二次函數y＝x2－2mx＋m2＋m－1圖像與x軸有兩個公共點

（2）解：平移后的解析式為: y＝x2－2mx＋m2＋m－1-k,過(0,-2),

∴-2=0-0+m+m-1-k, ∴k= m+m+1=(m+)+,∴k≥.