Question

【題目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點D．

（1）如圖1，點M，N分別在AD，AB上，且∠BMN＝90°，當∠AMN＝30°，AB＝2時，求線段AM的長；

（2）如圖2，點E，F分別在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求證：BE＝AF；

（3）如圖3，點M在AD的延長線上，點N在AC上，且∠BMN＝90°，求證：AB+AN＝AM．

Answer 1

【答案】（1）﹣；（2）證明見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質、直角三角形的性質得到AD=BD=DC=，求出∠MBD=30°，根據勾股定理計算即可；
（2）證明△BDE≌△ADF，根據全等三角形的性質證明；
（3）過點M作ME∥BC交AB的延長線于E，證明△BME≌△AMN，根據全等三角形的性質得到BE=AN，根據等腰直角三角形的性質、勾股定理證明結論．

解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，

∵AB＝2，

∴AD＝BD＝DC＝，

∵∠AMN＝30°，

∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

∴∠MBD＝30°，

∴BM＝2DM，

由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（）2，

解得，DM＝，

∴AM＝AD﹣DM＝﹣；

（2）∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中

∴△BDE≌△ADF（ASA）

∴BE＝AF；

（3）過點M作ME∥BC交AB的延長線于E，

∴∠AME＝90°，

則AE＝AM，∠E＝45°，

∴ME＝MA，

∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，

∴∠BME＝∠AMN，

在△BME和△NMA中

∴△BME≌△AMN（ASA），

∴BE＝AN，

∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝AM．