Question

如圖所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，點P是△ABC的外角∠BCN的角平分線上一個動點，點P′是點P關于直線BC的對稱點，連結PP′交BC于點M，BP′交AC于D，連結BP、AP′、CP′．

（1）若四邊形BPCP′為菱形，求BM的長；
（2）若△BMP′∽△ABC，求BM的長；
（3）若△ABD為等腰三角形，求△ABD的面積．

Answer 1

解：（1）∵四邊形BPCP′為菱形，而菱形的對角線互相垂直平分，
∴點M為BC的中點，∴BM=BC=×4=2。
（2）∵△ABC為等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，
∴△BMP′必為等腰直角三角形，BM=MP′。
由對稱軸可知，MP=MP′，PP′⊥BC，則△BMP為等腰直角三角形，
∴△BPP′為等腰直角三角形，BP′=BP。
∵∠CBP=45°，∠BCP=（180°﹣45°）=67.5°，
∴∠BPC=180°﹣∠CBP﹣∠BCP=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°。
∴∠BPC=∠BCP。∴BP=BC=4。∴BP′=4。
在等腰直角三角形BMP′中，斜邊BP′=4，∴BM=BP′=。
（3）△ABD為等腰三角形，有3種情形：
①若AD=BD，如題圖②所示，此時△ABD為等腰直角三角形，斜邊AB=4，
∴。
②若AD=AB，如答圖①所示，
過點D作DE⊥AB于點E，則△ADE為等腰直角三角形，

∴DE=AD=AB=。
∴，
③若AB=BD，則點D與點C重合，可知此時點P、點P′、點M均與點C重合，
∴。

（1）由菱形的性質可知，點M為BC的中點，所以BM可求。
（2）△ABC為等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，則△BMP′必為等腰直角三角形．證明△BMP′、△BMP、△BPP′均為等腰直角三角形，則BP=BP′；證明△BCP為等腰三角形，BP=BC，從而BP′=BC=4，進而求出BM的長度。
（3）△ABD為等腰三角形，有3種情形，分類討論計算。