Question

如圖，平面直角坐標系中的方格陣表示一個縱橫交錯的街道模型的一部分，以O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，x軸，y軸的正方向分別表示正東、正北方向，出租車只能沿街道（網格線）行駛，且從一個路口（格點）到另一個路口，必須選擇最短路線，稱最短路線的長度為兩個街區之間的“出租車距離”．設圖中每個小正方形方格的邊長為1個單位．可以發現：
從原點O到（2，-1）的“出租車距離”為3，最短路線有3條；
從原點O到（2，2）的“出租車距離”為4，最短路線有6條．
（1）①從原點O到（6，1）的“出租車距離”為

7

．最短路線有

7

條；
②與原點O的“出租車距離”等于30的路口共有

120

個．
（2）①解釋應用：從原點O到坐標（n，2）（n為大于2的整數）的路口A，有多少條最短路線？（請給出適當的說理或過程）
②解決問題：
從坐標為（1，-2）的路口到坐標為（3，36）的路口，最短路線有

780

條．

Answer 1

分析：（1）①根據題目信息，“出租車距離”等于點的橫坐標與縱坐標絕對值的和，進行計算即可求解；
②平面被坐標系分4個區域，在每一個區域內與原點0的“出租車距離”等于30的街區（m，n）滿足 m，n都是正整數，|m|+|n|=30，對于m的任意取值，n都有唯一的正整數和它對應，所以m可取30個值，n有30個值和它對應，然后即可求解；
（2）①出租車從原點O到坐標（n，2）（n為大于2的整數）的街區，需走（n+2）路程，不論橫坐標與縱坐標，沒確定一個單位的走法，則還剩下（n+2-1）種走法，依此類推，進行計算即可；
②把原點坐標平移到（1，-2），則點（3，36）的坐標變為（2，38），然后根據①中的結論進行計算即可．

解答：解：（1）①6+1=7，7；
②與原點0的“出租車距離”等于30的街區（m，n）滿足m，n都是正整數，|m|+|n|=30，
由對稱性，考慮m＞0，n＞，
m依次取1，2，…30，對應的n為29，28，…，0，共30個，
∴與原點0的“出租車距離”等于30的街區共30×4=120個；

（2）①從原點O到坐標（n，2）的“出租車距離”為n+2，
則最短路線的條數是（n+2-1）+（n+2-2）+（n+2-3）+…+1，
=

(n+1)(n+2)

2

；
②把原點坐標平移到（1，-2），則點（3，36）的坐標變為（2，38），
∴“出租車距離”為2+38=40，
∴

40×39

2

=780．
故答案為：（1）①7，7；②120；（2）①

(n+1)(n+2)

2

；②780．

點評：本題考查理解題意能力以及看圖能力，關鍵是明白怎樣是“出租車距離”和路線的走法．