Question

西湖龍井茶名揚中外．小葉是某龍井茶葉有限公司產品包裝部門的設計師．
如圖1是用矩形厚紙片（厚度不計）做長方體茶葉包裝盒的示意圖，陰影部分是裁剪掉的部分．沿圖中實線折疊做成的長方體紙盒的上下底面是正方形，有三處矩形形狀的“接口”用來折疊后粘貼或封蓋．
（1）小葉用長40cm，寬34cm的矩形厚紙片，恰好能做成一個符合要求的包裝盒，盒高是盒底邊長的2.5倍，三處“接口”的寬度相等．則該茶葉盒的容積是多少？
（2）如圖2是小葉設計出的一款茶葉包裝，它的里面是由四個圓柱體茶葉罐包裝而成的龍井茶．現有一張60cm×44cm的矩形厚紙片，按如圖3所示的方法設計包裝盒，用來包裝四個圓柱體茶葉罐，已知該種的茶葉罐高是底面直徑1.5倍，要求包裝盒“接口”的寬度為2cm（如有多余可裁剪），問這樣的茶葉罐底面直徑最大可以為多少？                                               

圖1                   圖2                        圖3

Answer 1

解：（1）設“接口”的寬度為xcm，盒底邊長為ycm. 得   
解得．∴8×2.5=20cm，20×8×8=1280cm³．即該茶葉盒的容積是1280 cm³． 
（2）設瓶底直徑為dcm，得或              
解得d≤8或d≤6，即茶葉罐底面直徑最大可以為8cm．                     

（1）由三處“接口”的寬度相等，以及矩形的長和寬，再結合圖形可以列出方程組求得“接口”的寬度和盒底邊長，從而求得該茶葉盒的容積；
（2）由矩形的長和寬的范圍再結合圖形得到不等式組，解得茶葉罐底面直徑的范圍，從而得到最大值。