Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖像交軸于，交軸于點(diǎn)，連接直線.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，圓與直線相切，切點(diǎn)為.

①若在軸的左側(cè)，且△∽△，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若圓的半徑為4，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2 +x-2；（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（， ）；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（， ）或（， ）．

【解析】試題分析：（1）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，從而可求得a、b的值；
（2）①由切線的性質(zhì)可知PH⊥AC，當(dāng)H在點(diǎn)C下方時(shí)，由△CHP∽△AOC可知∠PCH=∠CAO從而可證明CP∥x軸，于是得到yP=-2，yP=-2代入拋物線的解析式可求得x1=0（舍去），x2=-1，從而可求得P（-1，-2）；如圖1，當(dāng)H′在點(diǎn)C上方時(shí)，由相似三角形的性質(zhì)可知：∠P′CH′=∠CAO，故此QA=QC，設(shè)OQ=m，則QC=QA=m+1，在Rt△QOC中，由勾股定理可求得m的值，從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線CP′的解析式為y=-x-2，然后將CP′與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（-， ）．
（3）在x軸上取一點(diǎn)D，如圖（2），過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，使DE=4．在Rt△AOC中，由勾股定理可知AC=，由題意可知證明△AED∽△AOC，由相似三角形的性質(zhì)可求得AD=2，故此可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（1-2，0）或D（1+2，0），過點(diǎn)D作DP∥AC，交拋物線于P，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式為y=2x-2，于是得到直線PD的解析式為y=2x+4-2或y=2x-4-2，將直線PD的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵將x=1，y=0，x=-2，y=0代入y=ax2+bx-2得，解得：

∴拋物線的解析式為y=x2+x-2．
（2）解①∵圓P與直線AC相切，
∴PH⊥span>AC．
（i）如圖1，當(dāng)H在點(diǎn)C下方時(shí)，

①∵△CHP∽△AOC，
∴∠PCH=∠CAO．
∴CP∥x軸．
∴yP=-2．
∴x2+x-2=-2．
解得x1=0（舍去），x2=-1，
∴P（-1，-2）．
（ii）如圖1，當(dāng)H′在點(diǎn)C上方時(shí)．
∵∠P′CH′=∠CAO，
∴QA=QC，
設(shè)OQ=m，則QC=QA=m+1，
在Rt△QOC中，由勾股定理，得m2+22=（m+1）2，解得，m=，即OQ=；
設(shè)直線CP′的解析式為y=kx-2，
把Q（-，0）的坐標(biāo)代入，得k-2=0，解得k=-，∴y=-x-2，
由-x-2=x2+x-2，解得x1=0（舍去），x2=，此時(shí)y=-×（-）-2=，
∴P′（-， ）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-2）或（-， ）
②在x軸上取一點(diǎn)D，如圖（2），過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，使DE=4．

在Rt△AOC中，AC=，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC．
∴，即，解得AD=2，
∴D（1-2，0）或D（1+2，0）．
過點(diǎn)D作DP∥AC，交拋物線于P，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b．
將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到：

解得：

∴直線AC的解析式為y=2x-2．
∴直線PD的解析式為y=2x+4-2或y=2x-4-2，
當(dāng)2x+4-2=x2+x-2時(shí)，即x2-x-4=0，解得x1=，x2=；
當(dāng)2x-4-2=x2+x-2時(shí)，即x2-x+4=0，方程無實(shí)數(shù)根．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（， ）或（，-）．