Question

【題目】如圖，正比例函數y＝x與一次函數y＝ax+7的圖象相交于點P（4，n），過點A（2，0）作x軸的垂線，交一次函數的圖象于點B，連接OB．

（1）求a值；

（2）求△OBP的面積；

（3）在坐標軸的正半軸上存在點Q，使△POQ是以OP為腰的等腰三角形，請直接寫出Q點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）a=-1；（2）7；（3）點Q的坐標為（5，0）或（8，0）或（0，5）或（0，6）

【解析】

（1）先由點P在正比例函數圖象上求得n的值，再把點P坐標代入一次函數的解析式即可求出結果；

（2）易求點B坐標，設直線AB與OP交于點C，如圖，則點C坐標可得，然后利用△OBP的面積＝S△BCO+S△BCP代入相關數據計算即可求出結果；

（3）先根據勾股定理求出OP的長，再分兩種情況：當OP=OQ時，以O為圓心，OP為半徑作圓分別交y軸和x軸的正半軸于點Q1、Q2，如圖2，則點Q1、Q2即為所求，然后利用等腰三角形的定義即可求出結果；當PO=PQ時，以P為圓心，OP為半徑作圓分別交y軸和x軸的正半軸于點Q4、Q3，如圖3，則點Q4、Q3也為所求，然后利用等腰三角形的性質即可求得結果．

解：（1）把點P（4，n）代入y＝x，得：n＝×4＝3，∴P（4，3），

把P（4，3）代入y＝ax+7得，3＝4a+7，∴a＝﹣1；

（2）∵A（2，0），AB⊥x軸，∴B點的橫坐標為2，

∵點B在y＝﹣x+7上，∴B（2，5），

設直線AB與OP交于點C，如圖1，當x=2時，，∴C（2，），

∴△OBP的面積＝S△BCO+S△BCP＝2×（5﹣）+（4﹣2）×（5﹣）＝7；

（3）過點P作PD⊥x軸于點D，∵P（4，3），∴OD=4，PD=3，∴，

當OP=OQ時，以O為圓心，OP為半徑作圓分別交y軸和x軸的正半軸于點Q1、Q2，如圖2，則點Q1、Q2即為所求，且Q2（5，0）、Q1（0，5）；

當PO=PQ時，以P為圓心，OP為半徑作圓分別交y軸和x軸的正半軸于點Q4、Q3，如圖3，則點Q4、Q3也為所求，

由于PO=PQ3，∴DQ3=DO=4，∴Q3（8，0），

過點P作PF⊥y軸于點F，同理可得：FQ4=FO=3，∴Q4（0，6）．

綜上所述，在坐標軸的正半軸上存在點Q，使△POQ是以OP為腰的等腰三角形，點Q的坐標為（5，0）或（8，0）或（0，5）或（0，6）．