Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，經過C作CD⊥AB于點D，CF是⊙O的切線，過點A作AE⊥CF于E，連接AC．

（1）求證：AE=AD．

（2）若AE=3，CD=4，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接OC，根據垂直定義和切線性質定理證出△CAE≌△CAD（AAS），得AE=AD；（2）連接CB，由（1）得AD=AE=3，根據勾股定理得：AC=5，由cos∠EAC=，cos∠CAB==，∠EAC=∠CAB，得=.

（1）證明：連接OC，如圖所示，

∵CD⊥AB，AE⊥CF，

∴∠AEC=∠ADC=90°，

∵CF是圓O的切線，

∴CO⊥CF，即∠ECO=90°，

∴AE∥OC，

∴∠EAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO，

∴∠EAC=∠CAO，

在△CAE和△CAD中，

，

∴△CAE≌△CAD（AAS），

∴AE=AD；

（2）解：連接CB，如圖所示，

∵△CAE≌△CAD，AE=3，

∴AD=AE=3，

∴在Rt△ACD中，AD=3，CD=4，

根據勾股定理得：AC=5，

在Rt△AEC中，cos∠EAC==，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴cos∠CAB==，

∵∠EAC=∠CAB，

∴=，即AB=．