Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，點Q坐標為（x，y），若過點Q的直線l與x軸夾角為45°時，則稱直線l為點Q的“湘依直線”．

（1）已知點A的坐標為（6，0），求點A的“湘依直線”表達式；

（2）已知點D的坐標為（0，﹣4），過點D的“湘依直線”圖象經過第二、三、四象限，且與x軸交于C點，動點P在反比例函數y=（x＞0）上，求△PCD面積的最小值及此時點P的坐標；

（3）已知點M的坐標為（0，2），經過點M且在第一、二、三象限的“湘依直線”與拋物線y=x2+（m﹣2）x+m+2相交與A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若0≤x1≤2，0≤x2≤2，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣6或y=﹣x+6；（2）△PCD面積的最小值是24，此時點P的坐標是（4，4）；（3）m的取值范圍是1≤m≤3．

【解析】

（1）由“湘依直線”的定義知，直線l與直線y=x或y=﹣x平行．設點A的“湘依直線”表達式為：y=x+b或y=﹣x+b，將A（6， 0）代入，得0=6+b，或0=﹣6+b，由此求得b值，即可求點A的“湘依直線”表達式；（2）先求得過點D的“湘依直線”為y=﹣x﹣4，再求得C點的坐標為（﹣4，0），即可得△OCD是等腰直角三角形，所以CD=4．因為線段CD的長度為定值，可知當過點P的直線與直線CD垂直時，△PCD面積的最小，由此即可解答；（3）求得過點M的“湘依直線”為y=x+2，把拋物線的解析式和過點M的“湘依直線”聯立后整理可得x2+（m﹣3）x+m=0，根據根與系數的關系可x1+x2=3﹣m，x1x2=m．由0≤x1≤2，0≤x2≤2，可知0≤x1+x2≤4，0≤x1x2≤4且（m﹣3）2﹣4m≥0．由此即可求得m的取值范圍.

由“湘依直線”的定義知，直線l與直線y=x或y=﹣x平行．

（1）設點A的“湘依直線”表達式為：y=x+b或y=﹣x+b，

將A（6， 0）代入，得0=6+b，或0=﹣6+b

解得b=﹣6或b=6．

故點A的“湘依直線”表達式為：y=x﹣6或y=﹣x+6；

（2）∵點D的坐標為（0，﹣4），過點D的“湘依直線”圖象經過第二、三、四象限，

∴過點D的“湘依直線”為y=﹣x﹣4，

∴C（﹣4，0），即△OCD是等腰直角三角形，

∴CD=4．

∵線段CD的長度為定值，

∴當過點P的直線與直線CD垂直時，△PCD面積的最小，

又∵點P在反比例函數y=（x＞0）圖象上，

∴點P是線段CD的垂直平分線與雙曲線的交點，如圖，

∵直線CD與直線y=﹣x平行，

∴點P在直線y=x上，

故設P（a，a），

∴a=，

解得a=4（舍去負值）．

此時P（4，4），

S△PCD=×4×（4+2）=24．

綜上所述，△PCD面積的最小值是24，此時點P的坐標是（4，4）；

（3）∵點M的坐標為（0，2），過點M的“湘依直線”經過第一、二、三象限，

∴過點M的“湘依直線”為y=x+2，

則由題意知，

整理，得x2+（m﹣3）x+m=0

∴x1+x2=3﹣m，x1x2=m．

又0≤x1≤2，0≤x2≤2，

∴0≤x1+x2≤4，0≤x1x2≤4且（m﹣3）2﹣4m≥0．

即0≤3﹣m≤4，0≤m≤4且（m﹣3）2﹣4m≥0．

解得，1≤m≤3．

故m的取值范圍是1≤m≤3．