Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x+12與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線y=x交于點C．

（1）求點C的坐標．

（2）若P是x軸上的一個動點，直接寫出當△POC是等腰三角形時P的坐標．

（3）在直線AB上是否存在點M，使得△MOC的面積是△AOC面積的2倍？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）(4，4)；（2）(4，0)或(8，0) 或(，0) 或(，0) ；（3）存在，理由見解析，M（8，4）或（0，12）

【解析】

（1）聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解方程組即可得出點C的坐標；

（2）分OC=PC，OC=OP，PC=OP三種情況進行討論；

（3）分兩種情況討論：當M在x軸下方時；當M在x軸上方時.把△MOC的面積是△AOC面積的2倍的數(shù)量關系轉化為△MOA的面積與△AOC面積的數(shù)量關系即可求解.

解： (1)聯(lián)立兩直線解析式成方程組，得：，

解得：，

∴點C的坐標為(4，4)．

(2) 如圖， 分三種情況討論：

OC為腰，當OC=P1C時，
∵C（4，4），
∴P1（8，0）；
OC為腰，當OC=OP2= OP3時，
∵C（4，4），
∴OC=，

，；

當P4C=OP4時，設P（x，0），
則x= ，

解得x=4，
∴P4（4，0）．
綜上所述，P點坐標為P1（8，0），P2（，0），，P4（4，0）．

（3）當y=0時，有0=2x+12，

解得：x=6，

∴點A的坐標為(6，0)，

∴OA=6，

∴S△OAC=× 6× 4=12．

設M（x，y），當M在x軸下方時△MOC的面積是△AOC面積的2倍，

∴△MOA的面積等于△AOC的面積，，

∴，

∴y=4，

∴，

∴x=8，

∴M（8，4）

當M在x軸上方時△MOC的面積是△AOC面積的2倍，

∴△MOA的面積等于△AOC的面積的3倍，

∴

∴y=12時，

∴，

∴x=0，

∴M（0，12）

綜上所述，M（8，4）或（0，12）.