Question

【題目】已知，在中，，，D是AB上的一點不與點A，B重合，連接CD，以點C為中心，把CD順時針旋轉，得到CE，連接AE．

如圖1，求證：；

如圖2，若，點G為BC上一點，連接GD并延長，與EA的延長線交于點H，且，連接DE與AC相交于點F，請寫出圖2中所有正切值為2的角．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），，．

【解析】

(1)由已知可知∠B=∠CAB=45°，由旋轉可證△BCD≌△ACE，由全等三角形的性質可得∠CAE=∠B=45°，從而得∠EAD=90°；

(2)取DE的中點O，連接AO，CO，作DN⊥BC于N，GM⊥BD于M，可知A、D、C、E四點共圓，得到∠AED=∠ACD，由tan∠AED=和AE=BD，AD=2BD，即可得到∠AED和∠ACD的正切值為2；由tan∠HGC=3得到DN=3GN，設GN=a，則DN=BN=3a，BG=2a，BD= a，BM=GM=a，從而tan∠DGM=∠H=2.

證明：如圖1中，

，，

，

，

，

，，

≌，

，

．

解：如圖2中，取DE的中點O，連接AO，CO，作于H，于M．

，，

，

，D，C，E四點共圓，

，

，，

．

，設，則，，，，

，

，

，，，

，

，

滿足條件的角有，，．

故答案為：(1)證明見解析；(2)∠AED，∠ACD，∠H.