Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，動點M以每秒2個單位的速度從點A出發，沿著A→B→C的方向運動，當點M到達點C時，運動停止．點N是點M關于點B的對稱點，過點M作MQ⊥AC于點Q，以MN，MQ為邊作MNPQ，設點M的運動時間為t秒．

（1）分別求當t=2和t=5時，線段MN的長；

（2）是否存在這樣的t的值，使得MNPQ為菱形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；

（3）作點P關于直線MQ的對稱點P'，當點P'落在△ABC內部時，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）8（2）當t=或時，四邊形MNPQ為菱形（3）2＜t＜3或3＜t＜時，當點P'落在△ABC內部

【解析】

（1）t=2時，點M在線段AB上，求出AM即可，t=5時，點M在線段BC上，求出BM即可解決問題；

（2）分兩種情形，分別利用相似三角形的性質構建方程即可解決問題；

（3）分兩種情形：①如圖3中，當點P關于QM的對稱點P′落在線段AB上時．②如圖4中，當點P的對稱點落在線段BC上時，分別求出t的值即可解決問題.

（1）由題意得t=2，AM=4，MB=2，

∵M、N關于點B對稱，

∴BM=BN，

∴MN=2BM=4

t=5，AB+BM=10，AB=6，MB=4，

∴MN=2BM=8．

（2）情況一：當點M在邊AB上時，如圖1，

由△AQM∽△ABC，可得=，

∵AM=2t，AB=6，BC=8，AC=10．

∴QM=t，BM=6﹣2t，MN=12﹣4t．

QM=MN時，即t=12﹣4t，

解得t=；

情況二：當點M在邊BC上時，如圖2，

△CMQ∽△CAB，

∴，

∴，

∴MQ=（14﹣2t），

∵MN=MQ，

∴2（2t﹣6）=（14﹣2t），

解得：t=

綜上，當t=或時，四邊形MNPQ為菱形．

（3）如圖3中，

當點P關于QM的對稱點P′落在線段AB上時，易證四邊形PQP′M是菱形，

∴PP′⊥MQ，∵MQ⊥AC，

∴PP′∥AC，∵PQ∥AP′

∴四邊形AQPP′是平行四邊形，

∴AP′=PQ=MP′=MN，

∴AM=2MN，

∴2t=2（6﹣2t）

∴t=2，

∴時，當點P'落在△ABC內部．

如圖4，

當點P的對稱點落在線段BC上時，易證四邊形PQP′M是菱形，

可得P′M=P′Q=CP′=MN，

∴BM+CM=8，

∴2t﹣6+2（4t﹣12）=8，

解得t=，

∴3＜t＜時，當點P'落在△ABC內部．

綜上所述，2＜t＜3或3＜t＜時，當點P'落在△ABC內部．