Question

【題目】如圖1，兩個等腰直角三角板ABC和DEF有一條邊在同一條直線l上，DE=2，AB=1．將直線EB繞點E逆時針旋轉45°，交直線AD于點M．將圖1中的三角板ABC沿直線l向右平移，設C、E兩點間的距離為k．

解答問題：

（1）①當點C與點F重合時，如圖2所示，可得的值為 ；

②在平移過程中，的值為 （用含k的代數式表示）；

（2）將圖2中的三角板ABC繞點C逆時針旋轉，原題中的其他條件保持不變．當點A落在線段DF上時，如圖3所示，請補全圖形，計算的值；

（3）將圖1中的三角板ABC繞點C逆時針旋轉α度，0＜α≤90，原題中的其他條件保持不變．計算的值（用含k的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）①=1；②=；（2）．（3）．

【解析】

試題分析：（1）①根據題意可得EM垂直平分DF，直線AF∥EM，從而轉化為，繼而得出結論；②仿照①的思路進行求解即可；

（2）先補全圖形，連接AE，分別求出AM及DM的值，然后可確定比值．

（3）先畫出圖形，然后證明△ABG≌△CBE，繼而推出AG∥DE，△AGM∽△DEM，利用相似三角形的性質即可得出答案．

解：（1）①如圖，

∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，

∴EM垂直且平分DF，AF∥EM，

∴==1；

②如圖

由①可得====；

（2）連接AE，

∵△ABC，△DEF均為等腰直角三角形，DE=2，AB=1，

∴EF=2，BC=1，∠DEF=90°，∠4=∠5=45°

∴DF=2，AC=，∠EFB=90°，

∴DF=2AC，AD=，

∴點A為CD的中點，

∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，

∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=，

∵∠BEM=45°，

∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°，

∴∠1=∠3，

∴△AEM∽△FEB，

∴，

∴AM=，

∴DM=AD﹣AM=，

∴．

（3）過B作BE的垂線交直線EM于點G，連接AG、BG，

，

∴∠EBG=90°，

∵∠BEM=45°，

∴∠EGB=∠BEM=45°，

∴BE=BG，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠1=∠2，

∴△ABG≌△CBE，

∴AG=EC=k，∠3=∠4，

∵∠3+∠6=∠5+∠4=45°，

∴∠6=∠5，

∴AG∥DE，

∴△AGM∽△DEM，

∴．