Question

【題目】函數（為常數）．

（1）若點在函數圖象上，求的值；

（2）當時，若直線（為常數）與函數恰好有三個交點時，設三個交點的橫坐標從左至右依次為、、，求的取值范圍；

（3）已知、．若函數圖象與線段有兩個交點時，求的取值范圍；

（4）當時，函數值滿足，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的值為-2或4；（2）；（3）或；（4） 或．

【解析】

（1）分和兩種情況討論，分別將代入對應的解析式求解即可；

（2）當時，若直線（為常數）與函數恰好有三個交點，則與直線有2個交點，即可得到，且直線位于頂點的下方，從而確定了m的取值，即可求得，從而得到結果；

（3）分情況討論，當，此時兩段拋物線各有一個交點，若，此時需與AB有2個交點，據此進行計算即可；

（4）分別討論和兩種情況，分別計算出當，時y的取值，然后計算判斷范圍即可．

解：（1）若，則將代入，

，解得，成立，

若，則將代入，

，解得，成立，

故的值為-2或4；

（2）當時，，

的對稱軸為，

∵ ，∴該圖象僅有右半支的一部分，

時，

的對稱軸為，

∵ ，∴該圖象對稱軸兩側均有圖象，

時，

時，

在上，令，解得（舍），，

若直線（為常數）與函數恰好有三個交點時，

則，

∴，即， ，

∴，

∴；

（3）若，此時兩段拋物線各有一個交點，

將代入，

解得，

若與AB有交點則

在，上，

若時，y=2，則，

解得 或，

若與AB有交點則，

∴；

若，此時需與AB有2個交點，

將代入，

解得，

由對稱軸為直線，可知，若需與AB有2個交點，

則當y=2時，，

整理為，

則，解得，

∴，

綜上所述，或；

（4）當時，在范圍，

x=1，，

，，，

解得（舍）或，

，，，

解得，

∴，

當時，

x=-1，，滿足范圍，

因此x=2a，和x=2a+1時，，

在中，

，，，

解得，

，，，恒成立，

∵

∴

綜上所述 或．