Question

【題目】已知正比例函數y＝kx經過點A，點A在第四象限，過點A作AH⊥x軸，垂足為點H，點A的橫坐標為3，且△AOH的面積為3．

（1）求正比例函數的表達式；

（2）在x軸上能否找到一點M，使△AOM是等腰三角形？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x；（2）當點M的坐標為（﹣，0）、（，0）、（6，0）或（，0）時，△AOM是等腰三角形．

【解析】

（1）根據點A的橫坐標、△AOH的面積結合點A所在的象限，即可得出點A的坐標，再利用待定系數法即可求出正比例函數的表達式；

（2）分OM＝OA、AO＝AM、OM＝MA三種情況考慮，①當OM＝OA時，根據點A的坐標可求出OA的長度，進而可得出點M的坐標；②當AO＝AM時，由點H的坐標可求出點M的坐標；③當OM＝MA時，設OM＝x，則MH＝3﹣x，利用勾股定理可求出x值，進而可得出點M的坐標．綜上即可得出結論．

解：（1）∵點A的橫坐標為3，△AOH的面積為3，點A在第四象限，

∴點A的坐標為（3，﹣2）．

將A（3，﹣2）代入y＝kx，

﹣2＝3k，解得：k＝﹣，

∴正比例函數的表達式為y＝﹣x．

（2）①當OM＝OA時，如圖1所示，

∵點A的坐標為（3，﹣2），

∴OH＝3，AH＝2，OA＝＝，

∴點M的坐標為（﹣，0）或（，0）；

②當AO＝AM時，如圖2所示，

∵點H的坐標為（3，0），

∴點M的坐標為（6，0）；

③當OM＝MA時，設OM＝x，則MH＝3﹣x，

∵OM＝MA，

∴x＝ ，

解得：x＝，

∴點M的坐標為（，0）．

綜上所述：當點M的坐標為（﹣，0）、（，0）、（6，0）或（，0）時，△AOM是等腰三角形．