Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數a≠0）與x軸，y軸分別交于A，B，C三點，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），動點E從拋物線的頂點點D出發沿線段DB向終點B運動．
（1）直接寫出拋物線解析式和頂點D的坐標；
（2）過點E作EF⊥y軸于點F，交拋物線對稱軸左側的部分于點G，交直線BC于點H，過點H作HP⊥x軸于點P，連接PF，求當線段PF最短時G點的坐標；
（3）在點E運動的同時，另一個動點Q從點B出發沿直線x=3向上運動，點E的速度為每秒個單位長度，點Q速度均為每秒1個單位長度，當點E到達終點B時點Q也隨之停止運動，設點E的運動時間為t秒，試問存在幾個t值能使△BEQ為等腰三角形？并直接寫出相應t值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線y=-x2+2x+3，頂點D為（1，4）（2）G點的坐標（， ）（3）存在3個t值：t=． ，

【解析】試題分析：（1）直接把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點代入拋物線y=ax2+bx+c求得a、b、c得出解析式，進一步求得頂點坐標即可；

（2）連接OH，則四邊形HPOF是矩形，利用矩形的性質和垂線段最短求得答案即可；

（3）可用t分別表示出BE、BQ、EQ的長，然后分BE=BQ、BE=EQ、BQ=EQ三種情況，列方程求出t的值．

試題解析：(1)由題意得

解得，

∴拋物線y=x2+2x+3，

頂點D為(1,4)；

(2)如圖，

連接OH，

∵EF⊥y軸，HP⊥x軸，x軸⊥y軸，

∴四邊形HPOF是矩形，

∴PF=OH，

∴當OH最短時，PF最短，

∴OH⊥BC時，PF最短，

可得H的縱坐標為，

把y=代入y=x2+2x+3中，

則=x2+2x+3，

解得x1=,x2= (舍去)；

∴G點的坐標(， )

（3）如圖，

DB=2，yBD=-2x+6， 即

點E坐標為（， ）,Q(3，t)

當BE=BQ時，2-t=t t=；

當BE=EQ時(2-t)2=( +(,

當BQ=EQ時 t2=( +( ,
所以存在3個t值：t=． ，