Question

【題目】某片果園有果樹80棵，現準備多種一些果樹提高果園產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每棵樹所受光照就會減少，單棵樹的產量隨之降低.若該果園每棵果樹產果y(千克)，增種果樹x(棵)，它們之間的函數關系如圖所示.

(1)求y與x之間的函數關系式.

(2)在投入成本最低的情況下，增種果樹多少棵時，果園可以收獲果實7000千克.

(3)當增種果樹多少棵時，果園的總產量w(千克)最大？此時每棵果樹的產量是多少？

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x+80；(2)增種果樹20棵時，果園可以收獲果實7000千克；(3)當增種果樹40棵時，果園的總產量最大.每顆果樹的產量為60千克.

【解析】

(1)根據該果園每棵果樹產果y(千克)，增種果樹x(棵)，它們之間的函數關系如圖所示即可求解；

(2)根據(1)中求得的函數關系式，代入7000千克，即可求解；

(3)確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義.

解：(1)根據題中的圖可以看出，y與x為一次函數的關系，

設函數關系式為y＝kx+b，將(12，74)、(28，66)代入關系式可得

解得k＝﹣，b＝80，

所以y與x之間的函數關系式為y＝﹣x+80.

(2)根據題意可列方程(-x+80)(x+80)=7000，

化簡得x2﹣80x+1200＝0，解得x1＝20，x2＝60，

因為題中要求投入成本最低的情況下，所以x2＝60不符題意舍去，

答：增種果樹20棵時，果園可以收獲果實7000千克.

(3)根據題意可列函數關系式w＝(﹣x+80)(x+80)＝﹣(x﹣40)2+7200.

令y≥0，可求出自變量x的取值范圍是0≤x≤160，

所以當x＝40時，w可取到最大值7200，每顆果樹的產量為y＝﹣x+80＝60

答：當增種果樹40棵時，果園的總產量最大.每顆果樹的產量為60千克.