Question

【題目】在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦，，．

（1）在圖1中，P為直徑BA延長線上的一點，當CP與⊙O相切時，求PO的長；

（2）如圖2，一動點M從A點出發，在⊙O上按逆時針方向運動一周，當時，求半徑OM所掃過的扇形的面積．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）；；；．

【解析】

試題分析：（1）根據切線的性質得到CP⊥OC，由于∠OAC=∠AOC=60°，于是得到∠P=90°-∠AOC=30°，在Rt△POC中，求得CO=PO=4，即可得到結論；

（2）如圖，當S△MAO=S△CAO時，動點M的位置有四種．①作點C關于直徑AB的對稱點M1，連接AM1，OM1，②過點M1作M1M2∥AB交⊙O于點M2，連接AM2，OM2，③過點C作CM3∥AB交⊙O于點M3，連接AM3，OM3，④當點M運動到C時，M與C重合，求得每種情況的OM轉過的度數，再根據弧長公式求得弧AM的長，即可得到結論．

試題解析：（1）∵CP與⊙O相切，OC是半徑．

∴CP⊥OC，

又∵∠OAC=∠AOC=60°，

∴∠P=90°-∠AOC=30°，

∴在Rt△POC中，CO=PO=4，

則PO=2CO=8；

（2）如圖，

①作點C關于直徑AB的對稱點M1，連接AM1，OM1．

易得S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°∴當點M運動到M1時，S△MAO=S△CAO，

此時點M經過的弧長為，

∴半徑OM所掃過的扇形的面積=；

②過點M1作M1M2∥AB交⊙O于點M2，連接AM2，OM2，易得S△M2AO=S△CAO．

∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°

∴或，

∴當點M運動到M2時，S△MAO=S△CAO，此時點M經過的弧長為，

∴半徑OM所掃過的扇形的面積=××4=π；

③過點C作CM3∥AB交⊙O于點M3，連接AM3，OM3，易得S△M3AO=S△CAO

∴∠BOM3=60°，

∴=×240或=×2=

∴當點M運動到M3時，S△MAO=S△CAO，此時點M經過的弧長為，

∴半徑OM所掃過的扇形的面積=××4=；

④當點M運動到C時，M與C重合，S△MAO=S△CAO，

此時點M經過的弧長為×300°或π+=

∴半徑OM所掃過的扇形的面積=××4=．