Question

【題目】如圖，點E是正方形ABCD的對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），作EF⊥AC交邊BC于點F，連接AF、BE交于點G．

（1）求證：△CAF∽△CBE；

（2）若AF平分∠BAC，求證：AC2＝2AGAF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用AA證明△CEF∽△CAB，再列出比例式利用SAS證明△CAF∽△CBE

（2）根據題意求出△ABF∽△AGB，再轉化相關關系即可解答.

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∵EF⊥AC，

∴∠FEC＝90°＝∠ABC，

又∵∠FCE＝∠ACB，

∴△CEF∽△CAB，

∴＝，

又∵∠ACF＝∠BCE，

∴△CAF∽△CBE；

（2）∵△CAF∽△CBE，

∴∠CAF＝∠CBE，

∵AF平分∠BAC，

∴∠BAF＝∠CAF，

∴∠BAF＝∠CBE，

∴∠BAF+∠AFB＝∠CBE+∠AFB＝90°，

即∠ABF＝∠BGA＝90°，

∵∠BAG＝∠BAF，

∴△ABF∽△AGB，

∴＝，

∴AB2＝AGAF，

∵正方形ABCD中，AC2＝2AB2，

∴AC2＝2AGAF