Question

【題目】已知，如圖，在中，AC=BC，點D是邊AB的中點，E，F分別是AC和BC的中點，分別以CE，CF為一邊向上作兩個全等的矩形CEGH和矩形CFMN（其中EG=FM），依次連結DG、DM、GM。

（1）求證：是等腰三角形。

（2）如圖，若將上圖中的兩個全等的矩形改為兩個全等的正三角形（和)，其他條件不變。請探究的形狀，并說明理由。

（3）若將上圖中的兩個全等的矩形改為兩個正方形，并把中的邊BC縮短到如圖形狀，請探究的形狀，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）△DGM是等邊三角形． （3）△DGM是等腰直角三角形．

【解析】試題分析：（1）先根據SAS證明△FBM≌△MDH，得到DG＝DM，即是等腰三角形；（2）類似先證是等腰三角形，再求GM=GD，從而得出是等邊三角形；（3）類似（1）（2）中方法，先得到是等腰三角形，再求∠GDM=∠GEC=900，從而得出是等腰直角三角形；

試題解析：

（1）證明：∵四邊形CEGH和CFMN是全等的矩形，

∴CE= CF，EG=FM，∠GEC =∠MFC = 90°．

連接DE、DF，如圖．

∵D、E、F分別是AB、AC、BC的中點，

DE∥BC，且DE=CE =BC；

DF∥AC，且DF = CE = AC．

∴四邊形DECF是平行四邊形．

∴ ∠DEC=∠DFC．

又∵∠GEC=∠MFC，

∴∠DEG=∠DFM．

∵AC=BC，

∴DE=DF.

∴△FBM≌△MDH（SAS）．

∴DG=DM．

∴△DGM是等腰三角形．

（2）△DGM是等邊三角形．

證明：∵和是全等的等邊三角形，

∴CE=EG=CG=CF=FM=CM，∠GEC=∠MFC=60°．

連接DE、DF，如圖．

∵D、E、F分別是AB、AC、BC的中點，

∴DE∥BC，且DE =CE =BC；

DF∥AC，且DF=CE=AC．

∴四邊形DECF是平行四邊形．

∴ ∠DEC=∠DFC．

又∵∠GEC=∠MFC，

∴∠DEG=∠DFM．

∵AC=BC，

∴DE=DF.

∴△FBM≌△MDH（SAS）．

∴DG=DM．

∴△DGM是等腰三角形．

又∵∠GCM+∠ACB=3600-600-600=2400

∠GED+∠ACB=∠GEC+∠CED+∠ACB=600+1800=2400

∴∠GCM=∠GED

又DE=CF=CM，EG=CG

∴△GED≌△GCM（SAS）．

∴GM=GD

∴△DGM是等邊三角形．

（3）△DGM是等腰直角三角形．

顯然，由（1）（2）易得△GED≌△DFM（SAS）

∴DG=DM，∠DGE=∠MDF

∵DF∥AC

∴∠CED+∠EDF=1800/p>

即：∠CED+∠EDG+∠GDM+∠MDF=1800

又由三角形內角和可知∠CED+∠EDG+∠GEC+∠DGE=1800

∴∠GDM=∠GEC=900

∴△DGM是等腰直角三角形.