Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點B（-2，0），點C（8，0），與y軸交于點A．

（1）求二次函數y=ax2+bx+4的表達式；

（2）連接AC，AB，若點N在線段BC上運動（不與點B，C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求N點的坐標；

（3）連接OM，在（2）的結論下，求OM與AC的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）N（3，0）；（3）OM=AC．

【解析】試題分析：（1）由B、C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）可設N（n，0），則可用n表示出△ABN的面積，由NM∥AC，可求得，則可用n表示出△AMN的面積，再利用二次函數的性質可求得其面積最大時n的值，即可求得N點的坐標；

（3）由N點坐標可求得M點為AB的中點，由直角三角形的性質可得OM=AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分別求得AB和AC的長，可求得AB與AC的關系，從而可得到OM和AC的數量關系．

試題解析：（1）將點B，點C的坐標分別代入y=ax2+bx+4可得

，

解得，

∴二次函數的表達式為y=﹣x2+x+4；

（2）設點N的坐標為（n，0）（﹣2＜n＜8），

則BN=n+2，CN=8﹣n．

∵B（﹣2，0），C（8，0），

∴BC=10，

在y=﹣x2+x+4中，令x=0，可解得y=4，

∴點A（0，4），OA=4，

∴S△ABN=BNOA=（n+2）×4=2（n+2），

∵MN∥AC，

∴

∴，

∴

∵﹣＜0，

∴當n=3時，即N（3，0）時，△AMN的面積最大；

（3）當N（3，0）時，N為BC邊點，

∵MN∥AC，

∴M為AB邊中點，

∴OM=AB，

∵AB=，AC=，

∴AB=AC，

∴OM=AC．