Question

【題目】如圖，二次函數的圖象關于y軸對稱且交y軸負半軸于點C，與x軸交于點A、B，已知AB=6，OC=4，⊙C的半徑為，P為⊙C上一動點．

（1）求出二次函數的解析式；

（2）是否存在點P，使得△PBC為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）連接PB，若E為PB的中點，連接OE，則OE的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）二次函數解析式為；（2）點P的坐標為（﹣1，﹣2）或（，﹣）或（，﹣﹣4）或（﹣， ﹣4）；（3）OE的最大值為

【解析】分析：（1）首先確定A、B、C的坐標，再運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）①當PB與⊙相切時，△PBC為直角三角形，如圖1，連接BC，根據勾股定理得到BC=5，BP2=2，過P2作P2E⊥x軸于E，P2F⊥y軸于F，根據相似三角形的性質得到，設OC=P2E=2x，FP2=OE=x，得到BE=3-x，CF=2x-4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，-），過P1作P1G⊥x軸于G，P1H⊥y軸于H，同理求得P1（-1，-2），②當BC⊥PC時，△PBC為直角三角形，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論；

（3）如圖中，連接AP，根據OB=OA，BE=EP，推出OE=AP，可知當AP最大時，OE的值最大，

詳解：（1）∵AB=6，OC=4且圖象關于軸對稱

∴A（-3，0），B（3，0），C（0，﹣4）

設二次函數解析式為

將A（-3，0）代入得

∴二次函數解析式為

（2）存在點P，使得△PBC為直角三角形.

①當PB與⊙相切時，△PBC為直角三角形，如圖，連接BC.

∵OB=3．OC=4，

∴BC=5

∵CP2⊥BP2，CP2=

∴BP2=2過P2作P2E⊥x軸于E，P2F⊥y軸于F

則△CP2F∽△BP2E，四邊形OCP2B是矩形

∴，

設OF=P2E=2x，CP2=OE=x

∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4

∴=2

∴x=，2x=，即FP2=，EP2=

∴P2（，﹣）

過P1作P1G⊥x軸于G，P1H⊥y軸于H.同理求得P1（﹣1，﹣2）

②當BC⊥PC時，△PBC為直角三角形

過P4作P4H⊥y軸于H

則△BOC∽△CHP4

∴

∴CH=，P4H=

∴P4（，﹣﹣4）

同理P3（﹣， ﹣4）

綜上所述：點P的坐標為（﹣1，﹣2）或（，﹣）或（，﹣﹣4）或（﹣， ﹣4）.

（3）如圖，連接AP

∵OB=OA，BE=EP

∴OE為△ABP的中位線

∴

∴當AP最大時，OE最大

∵當P在AC的延長線上時，AP最大，最大值為

∴OE的最大值為