Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/秒的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/秒的速度移動，如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動的時間（0＜t＜6）．
（1）當t為何值時，△PBC為等腰直角三角形？
（2）求當移動到△QAP為等腰直角三角形時斜邊QP的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于任何時刻t，PB=12﹣2t，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，CB=AD=6，

當PB=CB時，△PBC為等腰直角三角形，

即12﹣2t=6，

解得：t=3

∴當t=3，△PBC為等腰直角三角形

（2）解：∵AP=2t，DQ=t，QA=6﹣t

當QA=AP時，△QAP為等腰直角三角形．

即6﹣t=2t．

解得：t=2（秒）．

∴當t=2秒時，△QAP為等腰直角三角形．

此時 AP=4，QA=2，

在Rt△QAP中，QP= = =2

【解析】（1）由矩形的性質得出∠A=∠B=90°，CB=AD=6，當PB=CB時，△PBC為等腰直角三角形，得出方程，解方程即可；（2）由題意得出AP=2t，DQ=t，QA=6﹣t當QA=AP時，△QAP為等腰直角三角形．得出方程，解方程求出t=2，得出AP、QA的長度，再由勾股定理求出QP即可．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．