Question

【題目】已知拋物線y＝x2－2mx＋4m－8的頂點為A

(1) 求證：該拋物線與x軸總有兩個交點

(2) 當m＝1時，直線BC：y＝kx－2與該拋物線交于B、C兩點，若線段BC被x軸平分，求k的值

(3) 以A為一個頂點作該拋物線的內接正三角形AMN（M、N兩點在拋物線上），請問：△AMN的面積是與m無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2)k＝－1± (3) S△AMN=3為定值

【解析】試題分析：（1）根據根的判別式可證明交點的個數；

（2）把m=1代入函數的解析式，然后根據二次函數和一次函數的交點，聯立方程組，得到含k的關于x的一元二次方程，然后根據根與系數的關系求出k的值；

（3）根據函數和等邊三角形的對稱性得到AB的關系式，然后根據三角形的面積確定其為定值.

試題解析：(1) ∵△＝4m2－4(4m－1)＝4(m－2)2＋16＞0

∴該拋物線與x軸總有兩個交點

(2) 當m＝1時，y＝x2－2x－4

設A(x1，y1)、B(x2，y2)

聯立 ，整理得x2－(k＋2)x－2＝0

∴x1＋x2＝k＋2，x1x2＝－2

當線段BC被x軸平分時

∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝0

∴k(k＋2)－4＝0，解得k＝－1±

(3) 根據拋物線和正三角形的對稱性，可知MN⊥y軸，設拋物線的對稱軸與MN交于點B

則AB＝BM

設M(a，b)

∴BM＝a－m（m＜a）

又AB＝yB－yA＝b－(4m－8－m2)＝a2－2ma＋4m－8－(4m－8－m2)＝(a－m)2

∴(a－m)2＝ (a－m)，∴a－m＝

∴BM＝，AB＝3

∴S△AMN＝AB·2BM＝×3×2×＝3為定值