Question

【題目】如圖1，直線l：y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B．已知點C（﹣2，0）．

（1）求出點A，點B的坐標．

（2）P是直線AB上一動點，且△BOP和△COP的面積相等，求點P坐標．

（3）如圖2，平移直線l，分別交x軸，y軸于交于點A1，B1，過點C作平行于y軸的直線m，在直線m上是否存在點Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為（﹣4，0），點B的坐標的坐標為（0，2）；（2）點P坐標為（4，4）；（3）點Q為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，-4）或（﹣2，）．

【解析】

（1）根據求與軸交點坐標的方法，列出方程即可得到結論；

（2）設，根據面積公式列出方程即可得出結論；

（3）如圖2，①當點是直角頂點時，根據全等三角形的性質即可得出結論；②當點是直角頂點時，，根據平移的性質得到直線的解析式為，根據兩點間的距離公式即可得到結論；③當點是直角頂點時，過點作軸于點，根據全等三角形的性質即可得出結論．

解：（1）設y＝0，則x+2＝0，

解得：x＝﹣4，

設x＝0，則y＝2，

∴點A的坐標為（﹣4，0），點B的坐標的坐標為（0，2）；

（2）∵點C（﹣2，0），點B（0，2），

∴OC＝2，OB＝2，

∵P是直線AB上一動點，

∴設P（m，m+2），

∵△BOP和△COP的面積相等，

∴×2|m|＝2×（|m|+2），

解得：m＝±4，

當m＝﹣4時，點P與點A重合，

∴點P坐標為（4，4）；

（3）存在；

理由：如圖1，

①當點B1是直角頂點時，

∴B1Q＝B1A1，

∵∠A1B1O+∠QB1H＝90°，∠A1B1O+∠OA1B1＝90°，

∴∠OA1B1＝∠QB1H，

在△A1OB1和△B1HQ中，，

∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS），

∴B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，

∴B1（0，﹣2）或（0，2），

當點B1（0，﹣2）時，Q（﹣2，2），

當點B1（0，2）時，

∵B（0，2），

∴點B1（0，2）（不合題意舍去），

∴Q（﹣2，2），

②當點A1是直角頂點時，A1B1＝A1Q，

∵直線AB的解析式為y＝x+2，

由平移知，直線A1B1的解析式為y＝x+b，

∴A1（﹣2b，0），B1（0，b），

∴A1B12＝4b2+b2＝5b2，

∵A1B1⊥A1Q，

∴直線A1Q的解析式為y＝﹣2x﹣4b

∴Q（﹣2，4﹣4b），

∴A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2-40b+20，

∴20b2﹣40b+20＝5b2，

∴b＝2或b＝，

∴Q（﹣2，-4）或（﹣2，）；

③當Q是直角頂點時，過Q作QH⊥y軸于H，

∴A1Q＝B1Q，

∵∠QA1C1+∠A1QC＝90°，∠A1QC+∠CQB1＝90°，

∴∠QA1C＝∠CQB1，

∵m∥y軸，

∴∠CQB1＝∠QB1H，

∴∠QA1C＝∠QB1H

在△A1QC與△B1QH中，，

∴△A1QC≌△B1QH（AAS），

∴CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，

∴Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），

即：滿足條件的點Q為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，-4）或（﹣2，）．