Question

【題目】問題提出：

（1）如圖①在中，是邊的高，點是上任意一點，若則的最小值為_　　　　；

（2）如圖②，在等腰中，是的垂直平分線，分別交于點，，求的周長；

問題解決：

（3）如圖③，某公園管理員擬在園內規劃一個區域種植花卉，且為方便游客游覽，欲在各頂點之間規劃道路和，滿足點到的距離為.為了節約成本，要使得之和最短，試求的最小值(路寬忽略不計)．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）；（3）的最小值為．

【解析】

（1）根據直線外一點與直線上的點的所有連線中，垂線段最短即可求解；

（2）由已知和等腰三角形的性質得出，根據垂直平分線的性質和含30度角的直角三角形的性質可依次得出，，利用勾股定理求出AB，即可求得的周長；

（3）延長到點，使得，延長到點，使得，連接，則的最小值即為的最小值；通過角的計算可得，可得點在弦所對的劣弧上；過點作于，過點作于，連接，

由即可求得結果．

解：（1）∵是邊的高，，

∴，點D到直線BC的距離為3，

∵點是上任意一點，

∴，即，

∴的最小值為3，

故答案為：3．

（2），

是的垂直平分線，

，

，

在中，，

在中，，

∴，

∴，

∴的周長；

（3）如圖，延長到點，使得，延長到點，使得，連接，

，，，

的最小值即為的最小值，

，

以為斜邊向下作等腰直角三角形，則，

以點為圓心為半徑作，F為圓上任意一點，則，

∵，

點在弦所對的劣弧上，

如圖，過點作于過點作于，連接，

則，

設則

則，即

解得：，則，

的最小值為，

的最小值為．