Question

【題目】如圖，點B在線段AC上，點E在線段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M、N分別是AE、CD的中點．
（1）求證：△ABE≌△DBC；
（2）判定△BMN的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABE和△DBC中 ，

∴△ABE≌△DBC

（2）解：△MBN是等腰直角三角形．

證明如下：

∵△ABE≌△DBC，

∴AE=CD，∠BAM=∠BDN．

∵M，N分別是AE，CD的中點，

∴AM= AE，CN= CD．

∴AM=CN．

在△ABM和△DBN中 ，

∴ABM≌△DBN．

∴BM=BN，∠ABM=∠DBN．

∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°，

∴∠ABD=∠ABM+∠DBM=90°．

∴∠DBN+∠DBM=∠MBN=90°．

∴△MBN是等腰直角三角形．

【解析】（1）在△ABE和△DBC中依據SAS可證明△ABE≌△DBC；（2）依據全等三角形的性質可得到AE=CD，∠BAM=∠BDN，然后依據中點的定義可證明AM=CN，依據SAS可證明ABM≌△DBN，然后全等三角形的性質可得到BM=BN，∠ABM=∠DBN，最后由∠ABM+∠MBE=∠MBE+∠EBN=90°可得到問題的答案．