Question

【題目】如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°。

①當點D在AC上時，如圖1，線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？寫出你猜想的結論，并說明理由；

②將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），如圖2，線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由。

Answer 1

【答案】①BD=CE，BD⊥CE，理由見解析；②BD=CE，BD⊥CE，理由見解析．

【解析】

試題分析：①BD=CE，BD⊥CE．根據全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形內角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；②BD=CE，BD⊥CE．根據全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等∠ABF=∠ECA；作輔助線（延長BD交AC于F，交CE于H）BH構建對頂角∠ABF=∠HCF，再根據三角形內角和定理證得∠BHC=90°；

試題解析：解：①結論：BD=CE，BD⊥CE；理由如下：

在△ABD與△ACE中，

AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE

如圖（1），延長BD交CE于F，

∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠CDF=∠EAC，

∴BD⊥CE

②結論：BD=CE，BD⊥CE

理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE

在△ABD與△ACE中，

∵

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE

如圖（2）延長BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF與△HCF中，

∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC

∴∠CHF=∠BAF=90°

∴BD⊥CE