Question

【題目】已知，△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖①所示，A點坐標為（﹣4，0），B點坐標為（6，0），點D為AC的中點，點E為線段AB上一動點，連接DE經過點A、B、C三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+8．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，將△ADE以DE為軸翻折，點A的對稱點為點G，當點G恰好落在拋物線的對稱軸上時，求G點的坐標；
（3）如圖②，當點E在線段AB上運動時，拋物線y=ax2+bx+8的對稱軸上是否存在點F，使得以C、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+8經過點A（﹣4，0），B（6，0），

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的解析式是：y=﹣ x2+ x+8

（2）

解：如圖1

，

作DM⊥拋物線的對稱軸于點M，

設G點的坐標為（1，n），由翻折的性質，可得AD=DG，

∵A（﹣4，0），C（0，8），點D為AC的中點，

∴點D的坐標是（﹣2，4），

∴點M的坐標是（1，4），DM=1﹣（﹣2）=1+2=3，

∵B（6，0），C（0，8），

∴AC= =4 ，

∴AD=2 ，

在Rt△GDM中，DG2=DM2+MG2

32+（4﹣n）2=20，解得n=4 ，

∴G點的坐標為（1，4+ ）或（1，4﹣ ）

（3）

解：存在．

C（0，8），D（﹣2，4），符合條件的點E、F的坐標為：

①如圖2

，

CD∥EF，且CD=EF，CDEF時，對角線的交點（﹣ ，4），E1（﹣1，0），F1（1，4）；

②如圖3

，

CD∥EF，且CD=EF，CDFE時，對角線的交點（ ，2），E2（3，0），F2（1，﹣4）；

③如圖4

，

DE∥CF，DE=CF，DECF時，對角線的交點（﹣1，6），E3（﹣3，0），F3（1，12）．

綜上所述：E1（﹣1，0），F1（1，4）；E2（3，0），F2（1，﹣4）；E3（﹣3，0），F3（1，12）

【解析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式；（2）根據線段中點的性質，可得D點坐標，根據勾股定理，可得AC的長，根據翻折的性質，可得DG的長，再根據勾股定理，可得方程，根據解方程，可得答案．（3）根據平行四邊形的性質，可得答案．
【考點精析】利用勾股定理的概念和平行四邊形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．