Question

【題目】若正方形有兩個相鄰頂點在三角形的同一條邊上，其余兩個頂點分別在三角形的另兩條邊上，則正方形稱為三角形該邊上的內接正方形，△ABC中，設BC=a，AC=b，AB=c，各邊上的高分別記為，，，各邊上的內接正方形的邊長分別記為，，．

（1）模擬探究：如圖，正方形EFGH為△ABC的BC邊上的內接正方形，求證：；

（2）特殊應用：若∠BAC=90°，==2，求的值；

（3）拓展延伸：若△ABC為銳角三角形，b＜c，請判斷與的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）＞．

【解析】

試題分析：（1）先根據EH∥FG，判定△AEH∽△ABC，再根據相似三角形對應邊成比例，列出比例式變形即可得到；

（2）先根據（1）中的結論得出，再將=c和=2代入變形，即可求得的值；

（3）先根據（1）中的結論得出和，變形得出，，再根據△ABC得到b=c， =csinA，=bsinA，最后代入代數式進行變形推導，即可得出與的大小關系．

試題解析：∵正方形EFGH中，EH∥FG，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，即，∴；

（2）由（1）得：，∵∠A=90°，∴=c，又∵=2，∴=；

（3）＞．

證明：由（1）得：，，∴，，∵S=b=c，∴2S=b=c，又∵=csinA，=bsinA，∴==

=，∵b＜c，sinA＜1，∴＜0，即＜0，∴＞．