Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．
（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；
（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中， ①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．
②若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數量關系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足為O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四邊形AFCE為平行四邊形，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE為菱形，

②設菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，

由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5，

∴AF=5cm

（2）解：①顯然當P點在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形；

同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上或P在BF，Q在CD時不構成平行四邊形，也不能構成平行四邊形．

因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，

∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，

∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，

∴PC=5t，QA=CD+AD﹣4t=12﹣4t，即QA=12﹣4t，

∴5t=12﹣4t，

解得 ，

∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時， 秒．

②由題意得，四邊形APCQ是平行四邊形時，點P、Q在互相平行的對應邊上．

分三種情況：

i）如圖1，當P點在AF上、Q點在CE上時，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；

ii）如圖2，當P點在BF上、Q點在DE上時，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；

iii）如圖3，當P點在AB上、Q點在CD上時，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．

綜上所述，a與b滿足的數量關系式是a+b=12（ab≠0）

【解析】（1）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據勾股定理即可求得AF的長；（2）①分情況討論可知，當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可；②分三種情況討論可知a與b滿足的數量關系式．
【考點精析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．