Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點H，AC的垂直平分線交BC于點E，交AC于點G，連接AD，AE，則下列結論錯誤的是（ ）
A. =
B.AD，AE將∠BAC三等分
C.△ABE≌△ACD
D.S△ADH=S△CEG

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵∠B=∠C=36°， ∴AB=AC，∠BAC=108°，
∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DB=DA，EA=EC，
∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，
∴△BDA∽△BAC，
∴ ，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°，
∴∠ADC=∠DAC，
∴CD=CA=BA，
∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB，
則 = ，即 = ，故A錯誤；
∵∠BAC=108°，∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，
∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°，
即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°，
∴AD，AE將∠BAC三等分，故B正確；
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
∵ ，
∴△BAE≌△CAD，故C正確；
由△BAE≌△CAD可得S△BAE=S△CAD ， 即S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE ，
∴S△BAD=S△CAE ，
又∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴S△ADH= S△ABD ， S△CEG= S△CAE ，
∴S△ADH=S△CEG ， 故D正確．
故選：A．
由題意知AB=AC、∠BAC=108°，根據中垂線性質得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，從而知△BDA∽△BAC，得 ，由∠ADC=∠DAC=72°得CD=CA=BA，進而根據黃金分割定義知 ，可判斷A；根據∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判斷B；根據∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD，可證△BAE≌△CAD，即可判斷C；由△BAE≌△CAD知S△BAD=S△CAE ， 根據DH垂直平分AB，EG垂直平分AC可得S△ADH=S△CEG ， 可判斷D．