Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，6）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接AD，點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，連接AE．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）過點(diǎn)P（﹣3，m）作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，求出P的坐標(biāo)．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y＝-x2﹣2x+6，拋物線的頂點(diǎn)D（﹣2，8）；（2）9；（3）P′（，）．

【解析】

1）由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，則代入求得a，b，c，進(jìn)而得解析式與頂點(diǎn)D．
（2）由P在AD上，則可求AD解析式表示P點(diǎn)．由S△APE=PEyP，所以S可表示，進(jìn)而由函數(shù)最值性質(zhì)易得S最值．

(3)求出點(diǎn)P，過點(diǎn)P′作P′M⊥y軸于點(diǎn)M，再根據(jù)相關(guān)條件解答即可.

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣6，0），B（2，0），C（0，6）三點(diǎn)，

∴，解得：，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣2x+6，

∵，，

∴拋物線的頂點(diǎn)D（﹣2，8）；

（2）∵A（﹣6，0），D（﹣2，8），

∴設(shè)AD的解析式y＝2x+12，

∵點(diǎn)P在AD上，

∴P（x，2x+12），

∴S△APE＝PEyP＝×（﹣x）（2x+12）＝﹣x2﹣6x，

當(dāng)x＝-3時(shí)，S最大=9；

（3）P′（，）．

點(diǎn)P在AD上，

∴當(dāng)﹣3時(shí)，y＝2×（﹣3）+12＝6，

∴點(diǎn)P（﹣3，6），

∴PF＝6，PE＝3，

過點(diǎn)P′作P′M⊥y軸于點(diǎn)M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，

∴∠PFE＝∠P′FE，PF＝P′F＝6，PE＝P′E＝3，

∵PF∥y軸，

∴∠PFE＝∠FEN，

∵∠PFE＝∠P′FE，

∴∠FEN＝∠P′FE，

∴EN＝FN，

設(shè)EN＝a，則FN＝a，P′N＝6﹣a，

在Rt△P′EN中，P′N2+P′E2＝EN2，即（6﹣a）2+32＝a2，解得：a＝，

∵S△P′EN＝P′NP′E＝ENP′M，

∴P′M＝，

在Rt△EMP′中，EM＝，

∴OM＝EO﹣EM＝6﹣＝，

∴P′（，）．