Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點E、F，與AB分別相交于點G、H，且EH的延長線與CB的延長線交于點D，則CD的長為（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接OE、OF，由切線的性質結合結合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半徑為0.5a，則BF＝a﹣0.5a＝0.5a，再由切割線定理可得BF2＝BHBG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE＝OH，利用相似三角形的性質即可求出BH＝BD，最終由CD＝BC+BD，即可求出答案．

解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點E、F，與AB分別相交于點G、H，且EH的延長線與CB的延長線交于點D

∴連接OE、OF，由切線的性質可得OE＝OF＝⊙O的半徑，∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°

∴四邊形OECF是正方形

∵由△ABC的面積可知×AC×BC＝×AC×OE+×BC×OF

∴OE＝OF＝a＝EC＝CF，BF＝BC﹣CF＝0.5a，GH＝2OE＝a

∵由切割線定理可得BF2＝BHBG

∴a2＝BH（BH+a）

∴BH＝或BH＝（舍去）

∵OE∥DB，OE＝OH

∴△OEH∽△BDH

∴

∴BH＝BD，CD＝BC+BD＝．

故選：B．