Question

等腰直角三角形ABC的直角邊AB=BC=10cm，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度做直線運(yùn)動(dòng)，已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于D．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△PCQ的面積等于△ABC的面積？
（2）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度是否改變？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)s_△ABC=

1

2

AB•BC=50，設(shè)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，分別分析當(dāng)t＜10秒時(shí)，以及當(dāng)t＞10秒時(shí)得出t的值即可；
（2）根據(jù)當(dāng)t＜10秒時(shí)，P在線段AB上，得出△APE≌△QCF，以及當(dāng)t＞10秒時(shí)，P在線段AB的延長(zhǎng)線上，得出DE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵s_△ABC=

1

2

AB•BC=50（1分），
設(shè)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t＜10秒時(shí)，P在線段AB上，
如圖1，此時(shí)CQ=t，PB=10-t
∴s△PCQ=

1

2

×t×(10-t)=

1

2

(10t-t2)=50（2分）
整理得t²-10t+100=0無(wú)解（3分）
②當(dāng)t＞10秒時(shí)，P在線段AB的延長(zhǎng)線上，
如圖2，此時(shí)CQ=t，PB=t-10
∴s△PCQ=

1

2

×t×(t-10)=

1

2

(t2-10t)=50（3分）
整理得t²-10t-100=0
解得t=5±5

5

（舍去負(fù)值）（5分）
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)（5+5

5

）秒時(shí)，s_△PCQ=s_△ABC（5分）（得分同上）

（2）當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．
證明如下：（（6分），評(píng)分細(xì)則見(jiàn)后注）
①當(dāng)t＜10秒時(shí)，P在線段AB上，如圖1，
過(guò)Q作QF⊥AC，交直線AC于點(diǎn)F
在Rt△APE和Rt△QCF中
∵∠A=45°，∠QCF=∠ACB=45°
AP=QC=t
∴△APE≌△QCF∴AE=PE=CF=QF=

2

2

t（7分）
∴四邊形PEQF是平行四邊形，且DE是對(duì)角線EF的一半
又∵EF=AC=10

2

∴DE=5

2

（8分）
②當(dāng)t＞10秒時(shí)，P在線段AB的延長(zhǎng)線上，如圖2，
作PE⊥AC，交直線AC于點(diǎn)E，過(guò)Q作QF⊥AC，交直線AC于點(diǎn)F．
同理可得DE=5

2

（10分）
∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變（10分）（得分同上）
注：①未說(shuō)明P在線段AB的延長(zhǎng)線上情形者，相應(yīng)步驟分不給．是否在答卷上畫(huà)出第二種情形的圖形不做統(tǒng)一要求．
②對(duì)于做出了正確判斷，未做證明或雖做證明但證法錯(cuò)誤的，給判斷分（1分）．
③對(duì)于未寫(xiě)出判斷，直接按“線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變”證明的情況，視同已做判斷處理．即：若證法正確給滿分（5分），若證法不對(duì)，判斷分1分仍給．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知分別進(jìn)行討論當(dāng)t＜10秒以及當(dāng)t＞10秒是解題關(guān)鍵．