Question

6．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=6，點P在線段AD上，滿足條件∠BPC=90°的點P有且只有一個，則等腰梯形ABCD的面積是18．

Answer 1

分析 如圖，當以BC為直徑的⊙O與直線AD相切于點P時，滿足條件∠BPC=90°的點P有且只有一個．連接PB、PC、OP、OD、OA延長AO交DC的延長線于E．由△ABO≌△ECO，推出S_△ABO=S_△EOC，OA=OE，推出S_梯形ABCD=S_△ADE=2S_△AOD即可解決問題．

解答 解：如圖，當以BC為直徑的⊙O與直線AD相切于點P時，滿足條件∠BPC=90°的點P有且只有一個．連接PB、PC、OP、OD、OA延長AO交DC的延長線于E．

∵OP⊥AD，OP=OB=OC=3，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$•AD•OP=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
∵AB∥DE，
∴∠BAO=∠E，
在△ABO和△ECO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠E}\\{∠AOB=∠EOC}\\{BO=OC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ECO，
∴S_△ABO=S_△EOC，OA=OE，
∴S_梯形ABCD=S_△ADE=2S_△AOD=18．
故答案為18．

點評 本題考查梯形的性質、直徑所對的圓周角是直角、全等三角形的判定和性質、切線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，確定點P的位置，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．