Question

【題目】已知拋物線y1=﹣x2+mx+n，直線y2=kx+b，y1的對稱軸與y2交于點A（﹣1，5），點A與y1的頂點B的距離是4．
（1）求y1的解析式；
（2）若y2隨著x的增大而增大，且y1與y2都經過x軸上的同一點，求y2的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y1=﹣x2+mx+n，直線y2=kx+b，y1的對稱軸與y2交于點A（﹣1，5），點A與y1的頂點B的距離是4．

∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），

∴﹣ =﹣1， =1或9，

解得m=﹣2，n=0或8，

∴y1的解析式為y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣2x+8；

（2）解：當y1的解析式為y1=﹣x2﹣2x時，拋物線與x軸得交點為頂點（﹣1，0），不合題意；

當y1=﹣x2+2x+8時，解﹣x2+2x+8=0得x=﹣4或2，

∵y2隨著x的增大而增大，且過點A（﹣1，5），

∴y1與y2都經過x軸上的同一點（﹣4，0），

把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得 ，

解得 ；

∴y2= x+ ．

【解析】（1）根據題意求得頂點B得坐標，然后根據頂點公式即可求得m、n，從而求得y1的解析式；（2）分兩種情況討論：當y1的解析式為y1=﹣x2﹣2x時，拋物線與x軸得交點為頂點（﹣1，0），不合題意；當y1=﹣x2+2x+8時，解﹣x2+2x+8=0求得拋物線與x軸的交點坐標，然后根據A的坐標和y2隨著x的增大而增大，求得y1與y2都經過x軸上的同一點（﹣4，0），然后根據待定系數法求得即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解一次函數的性質的相關知識，掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小，以及對確定一次函數的表達式的理解，了解確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法．