Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向移動(dòng)．點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，△EFG的面積為S（cm2）
（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，S的值是多少？
（2）寫出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；
（3）若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，當(dāng)t=1秒時(shí)，AE=2，EB=10，BF=4，F(xiàn)C=4，CG=2，

由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，

= × ﹣

= ×（10+2）×8﹣ ×10×4﹣

=24（cm2）

（2）解：①如圖1，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)E、F、G分別在邊AB、BC、CD上移動(dòng)，

此時(shí)AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，F(xiàn)C=8﹣4t，CG=2t，

S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG

= ×（EB+CG）BC﹣ EBBF﹣ FCCG

= ×8×（12﹣2t+2t）﹣ ×4t（12﹣2t）﹣ ×2t（8﹣4t）

=8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G時(shí)，4t=2t+8，解得t=4，

當(dāng)2＜t＜4時(shí)，點(diǎn)E在邊AB上移動(dòng)，點(diǎn)F、G都在邊CD上移動(dòng)，此時(shí)CF=4t﹣8，CG=2t，

FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t，

S= FGBC= （8﹣2t）8=﹣8t+32．

即S=﹣8t+32（2＜t＜4）

（3）解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在矩形的邊BC上的邊移動(dòng)時(shí)，在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，

① 若 ，即 = ，

解得t= ．

所以當(dāng)t= 時(shí)，△EBF∽△FCG，

②若 即 = ，解得t= ．

所以當(dāng)t= 時(shí)，△EBF∽△GCF．

綜上所述，當(dāng)t= 或t= 時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似．

【解析】（1）當(dāng)t=1時(shí)，根據(jù)點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，可求出S和t的關(guān)系．（2）根據(jù)點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，△EFG的面積為S，求出S和t的關(guān)系式．（3）兩邊對應(yīng)成比例夾角相等的三角形是相似三角形可求出解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了三角形的面積和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握三角形的面積=1/2×底×高；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．