Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點，HA=EB=FC=GD，連接EG，FH，交點為O．

（1）如圖1，連接GH，GF，求證：GH=GF；
（2）如圖2，連接EF，FG，GH，HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結論；

（3）將正方形ABCD沿線段EG，HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一個四邊形．若正方形ABCD的邊長為3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，則圖3中陰影部分的面積為cm2 ． （直接寫結果）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形EFGH是正方形． ∴∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA， ∵HA=EB=FC=GD，

∴AE=BF=CG=DH， ∴△CGF≌△DHG ∴ GH=GF；

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，

∵HA=EB=FC=GD，

∴AE=BF=CG=DH，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四邊形EFGH是菱形，

∵△DHG≌△AEH，

∴∠DHG=∠AEH，

∵∠AEH+∠AHE=90°，

∴∠DHG+∠AHE=90°，

∴∠GHE=90°，

∴四邊形EFGH是正方形

（3）解：S陰影=1． ∵HA=EB=FC=GD=1，AB=BC=CD=AD=3， ∴GF=EF=EH=GH= ，

∵由（1）知，四邊形EFGH是正方形， ∴GO=OF，∠GOF=90°， 由勾股定理得：GO=OF= ，

∵S四邊形FCGO= ×1×2+ × × = ， ∴S陰影= ﹣S四邊形FCGO×4=10﹣9=1

【解析】（1）根據正方形的性質得出∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA， 結合已知得出AE=BF=CG=DH，從而判斷出△CGF≌△DHG，根據全等三角形的性質得出結論；
（2）根據正方形的性質得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA， 結合已知得出AE=BF=CG=DH，從而推出△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，由全等三角形的性質得出EF=FG=GH=HE，進而判斷出四邊形EFGH是菱形，再找出∠GHE=90°，根據正方形的判定得出四邊形EFGH是正方形；
（3）根據已知條件，知道重新拼出來的圖形是正方形，利用勾股定理求出GF,GO,FO的長，從而求出陰影部分的面積。
【考點精析】掌握勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．