Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，，.點在的邊上或內部運動，過點分別向邊、所在直線作垂線，交射線于點，交邊于點.

（1）求邊的長.

（2）求線段的取值范圍.

（3）當點在的邊上運動時，若，直接寫出線段的長.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（或）.（3）線段的長為或.

【解析】

（1）根據tanA=，AB=5可得BD=3，AD=4，由平行線的性質可得∠CDB=∠ABD，根據余弦的定義列出比例式即可求出CD的長；（2）根據點在邊上運動時，如圖①，取得最小值，點與點重合時，如圖②，取得最大值，分別求出AE的值即可；（3）作∠A的平分線，交BD于P1，交BC于P2，則P1E=P1F（D、E重合），P2E=P2F（F、B重合），根據∠FBP1的正切值可求出P1F的值，根據平行線分線段成比例的性質可求出P2F的值即可得答案.

（1）∵，，，

∴，.

∵，

∴.

∴.

∴，即.

∴.

（2）當點在邊上運動時，如圖1，取得最小值，

此時.

當點與點重合時，如圖2，取得最大值.

∵，

∴.

∴.

∴，即.

∴.

∴.

∴.（或）

（3）如圖3，作∠A的平分線，交BD于P1，交BC于P2，則P1E=P1F（D、E重合），P2E=P2F（F、B重合），

∵AB=5，AD=4，AD=AF，

∴BF=1，

∵tan∠FBP1===

∴P1F=P1D=，

∵P1F//P2F

∴=，即

∴P2E=P2B=.

∴線段的長為或.