Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標為（6，0），（6，8）．動點M、N分別從O、B同時出發，都以每秒1個單位的速度運動，其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動，過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連接MP，已知動點運動了t秒．
（1）求直線AC的解析式．
（2）用含t的代數式表示P的坐標

（6-t，

4

3

t）

（直接寫出答案）
（3）是否存在點P使得

S

四邊形OMPC

=

39

2

？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）是否存在t的值，使以P、A、M為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，請求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的性質求出C點坐標，利用待定系數法求出AC的解析式；
（2）求出CN的長度表達式即為P點橫坐標，代入解析式即可求出P點的縱坐標，從而得到P點坐標表達式；
（3）存在，求出AM的長度表達式，根據三角形的面積公式求出△AMP的面積表達式，用△ACO的面積減去△AMP的面積表達式即為S_{四邊形OMPC}，使面積等于

39

2

，求出t的值，即可確定出此時P的坐標；
（3）先假設以P、A、M為頂點的三角形與△AOC相似，再根據相似三角形的性質進行計算，若能求出t，則存在；否則不存在．

解答：解：（1）∵四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標為（6，0），（6，8），
∴C點坐標為（0，8），
設AC的解析式為y=kx+b，
將A（6，0），C（0，8）代入y=kx+b得：

6k+b=0 b=8

，
解得：

k=- 4 3 b=8

，
則直線AC的解析式為y=-

4

3

x+8；

（2）∵CN=6-t，
∴y_P=-

4

3

（6-t）+8=

4

3

t，
則P點坐標為（6-t，

4

3

t）；
故答案為：（6-t，

4

3

t）

（3）存在．
∵AM=AO-OM=6-t，
∴S_△AMP=

1

2

×（6-t）×

4

3

t=-

2

3

t²+4t，
∴y=S_{四邊形OMPC}=S_△AOC-S_△AMP=

1

2

×6×8-（-

2

3

t²+4t）=

2

3

t²-4t+24=

2

3

（t-3）²+18，
當y=

39

2

時，有

2

3

（t-3）²+18=

39

2

，
解得：t=

3

2

或t=

9

2

，
則滿足題意P的坐標為（

9

2

，2）或（

3

2

，6）；
（4）存在．
在△ACB中，PN∥AB，
則

BN

BC

=

AP

AC

，
即

t

6

=

AP

10

，
解得AP=

5

3

t，
又∵AM=6-t，
則有：①△AMP∽△AOC時，

AM

AO

=

AP

AC

，即

6-t

6

=

5 3 t

10

，解得t=3秒；
②△APM∽△AOC時，

AP

AO

=

AM

AC

，即

5 3 t

6

=

6-t

10

，解得t=

27

17

秒，
綜上所述，當t=3秒或t=

27

17

秒時，以P、A、M為頂點的三角形與△AOC相似．

點評：本題考查了動點問題與相似三角形的性質，根據題意，逐步解答，充分利用前一問題的結論是解題的關鍵，同時要注意分類討論．