Question

【題目】新知：對角線垂直的四邊形兩組對邊的平方和相等

感知與認證：如圖1，2，3中，四邊形ABCD中于O，如圖1，AC與BD相互平分，如圖2，AC平分BD,結論顯然成立.

認知證明：（1）請你證明如圖3中有成立。

發現應用：（2）如圖4，若AF,BE是三角形ABC的中線，垂足為P

已知：,,求AB的長

拓展應用：（3）如圖5，在平行四邊形ABCD中，點E,F,G分別是AD,BC,CD的中點，,，.求AF的長.

Answer 1

【答案】認識證明：（1）見解析；發現應用：（2）AB=4；拓展應用：（3）.

【解析】

認識證明：(1)利用勾股定理，分別表示AD2+BC2和AD2+BC2即可證明；發現應用：（2）連接EF,根據中位線的定理可得,根據中線的定理可得，結合對角線垂直的四邊形兩組對邊的平方和相等，列出等式，代入值求解即可；拓展應用：（3）連接AC，EF交于H，AC與BE交于點Q，設BE與AF的交點為P.連接PH.可證明EP，AH分別是△AFE的中線，BE⊥AC，結合（2）可求得AF.

認識證明：（1）如下圖：

∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2.

發現應用：（2）如下圖，連接EF

∵AF,BE是三角形ABC的中線

∵

∴

即

解得EF=2，AB=2EF=4.

拓展應用：（3）如圖，連接AC，EF交于H，AC與BE交于點Q，設BE與AF的交點為P.連接PH.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC=，

∴∠EAH=∠FCH.

∵E，F分別是AD，BC的中點，

∵AE∥BF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴EF=AB=3，AP=PF.

∵在△AEH和△CFH中，

∴△AEH≌△CFH，

∴EH=FH=，

∴EP，AH分別是△AFE的中線.

∴

∵點E、G分別是AD，CD的中點，

∴EG∥AC.

∵BE⊥EG，

∴BE⊥AC.

∴

即

解得:,故