Question

如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”．
（1）請用直尺和圓規畫一個“好玩三角形”；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=2β，點P，Q從點A同時出發，以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點C運動，記點P經過的路程為s．
①當β=45°時，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；
②當tanβ的取值在什么范圍內，點P，Q在運動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”．請直接寫出tanβ的取值范圍．
（4）依據（3）的條件，提出一個關于“在點P，Q的運動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個數關系”的真命題（“好玩三角形”的個數限定不能為1）

Answer 1

（1）見解析   （2）見解析   （3）①   ②＜tanβ＜2
（4）在P、Q的運動過程中，當0＜tanβ＜時，使得△APQ成為“好玩三角形”的個數為2．

解：（1）如圖1，

①作一條線段AB，
②作線段AB的中點O，
③以點O為圓心，AB長為半徑畫圓，
④在圓O上取一點C（點E、F除外），連接AC、BC．
∴△ABC是所求作的三角形．
（2）如圖2，

取AC的中點D，連接BD．
∵∠C=90°，tanA= ，
∴
∴設BC= x，則AC=2x，
∵D是AC的中點，
∴CD= AC=x
∴BD= = =2x，
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”；
（3）①當β=45°，點P在AB上時，
∴∠ABC=2β=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，
如圖3，當P在BC上時，連接AC交PQ于點E，延長AB交QP的延長線于點F，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=2β=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠CAB=∠ACP，
∵PC=CQ，∠ACB=∠ACD，
∴∠AEF=∠CEP=90°，
∴△AEF∽△CEP，且△AEF、△CEP和△BFP都是等腰直角三角形，
∴．
∵PE=CE，
∴．
（Ⅰ）當底邊PQ與它的中線AE相等時，即AE=PQ時，
，
∴，
（Ⅱ）當腰AP與它的中線QM相等，即AP=QM時，
作QN⊥AP于N，如圖4

∵AP=QM=AQ
∴MN="AN=" MP．
∴QN= MN，
∴tan∠APQ= ，
∴tan∠APE= ，
∴=
②由①可知，當AE=PQ和AP=QM時，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”，
∴＜tanβ＜2時，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”．
（4）由（3）可以知道：在P、Q的運動過程中，當0＜tanβ＜時，使得△APQ成為“好玩三角形”的個數為2．
（1）先畫一條線段AB，再確定AB的中點O，以點O為圓心，AB為半徑畫圓，在圓O上取一點C，連接AC、BC，則△ABC是所求作的三角形；
（2）取AC的中點D，連接BD，設BC= x，根據條件可以求出AC=2x，由三角函數可以求出BD=2x，從而得出AC=BD，從而得出結論；
（3）①當β=45°時，分情況討論，P點在AB上時，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，當P在BC上時，延長AB交QP的延長線于點F，可以求出，再分情況討論，當AE=PQ和AP=QM時，求出的值；
②根據①求出的兩個的值可以求出tanβ的取值范圍；
（4）由（3）可以得出“在P、Q的運動過程中，當0＜tanβ＜時，使得△APQ成為‘好玩三角形’的個數為2”是真命題．